#09 Hareketli Sınır İşi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Isıtılan Silindir

   

   Silindirde hava; üstünde 51 kg piston (ağırlıklarla)

   Alttan ısıtıyoruz → piston 20 cm yükseliyor

   Hava ne kadar iş yaptı?

   İlk akla gelen:

   $\displaystyle m g h = 51 \cdot 9.81 \cdot 0.2 \approx 100 J ✗$

   ✓ Gerçek: 300 J · fazladan 200 J nereye?

   Bugün: hareketli sınır işi

   Sesli anlatım metni

   Dik duran bir silindirin içinde hava var; üstünde, ağırlıklarıyla birlikte 51 kilogramlık bir piston. Havayı alttan ısıtıyoruz ve piston 20 santimetre yükseliyor. Hava ne kadar iş yaptı? İlk akla gelen şu: ağırlığı 20 santimetre kaldırdı; kütle çarpı yerçekimi ivmesi çarpı yükseklik, 51 çarpı 9.81 çarpı 0.2, yaklaşık 100 joule. Oysa hava tam 300 joule iş yapıyor. Fazladan 200 joule nereye gitti? Bugün hareketli sınır işini öğreniyoruz.

2. 2. Sınır İşi: W = ∫ P dV

   

   iş = kuvvet × yol

   gazın pistona kuvveti:

   $\displaystyle F = P \cdot A$

   piston ds kadar giderse: δW = P · A · ds

   A · ds = dV (hacimdeki küçük değişim)

   δW = P dV

   W_b = ∫ P dV (1 → 2)

   sanki-dengeli: piston yavaş, P her yerde aynı

   P–V diyagramı: eğrinin altındaki alan

   P daima mutlak basınç

   genleşme: dV > 0 → W > 0, gaz iş yapar

   sıkıştırma: dV < 0 → W < 0, gaza iş yapılır

   kPa · m³ = kN/m² · m³ = kN · m = kJ

   Sesli anlatım metni

   İş, kuvvet çarpı yol demekti. Gaz pistonu iterken uyguladığı kuvvet, basınç çarpı piston alanıdır. Piston küçük bir mesafe yol alırsa iş, basınç çarpı alan çarpı o mesafe olur. Alan çarpı mesafe de hacimdeki küçük değişimdir. Yani küçük iş, basınç çarpı hacim değişimi. Süreç boyunca bu küçük işleri toplarsak sınır işini buluruz: basıncın hacme göre integrali. Bunun için süreç sanki-dengeli olmalı: piston yavaş hareket eder, gazın her yerinde basınç aynıdır. Basınç hacim diyagramında bu, süreç eğrisinin altında kalan alandır. Burada basınç daima mutlak basınçtır. İşaret de önemli: genleşmede hacim artar, sonuç pozitiftir ve gaz iş yapar. Sıkıştırmada hacim azalır, sonuç negatif çıkar; bu, gaza iş yapıldığı anlamına gelir. Birimler de uyuyor: kilopaskal çarpı metreküp, kilonewton çarpı metre, yani kilojoule.

3. 3. Sabit Basınç: 300 J Nereye?

   

   piston serbest → P sabit (pistonu bastıran basınç)

   $\displaystyle P = Pₐₜₘ +\frac{ m g }{ A}$

   $\displaystyle m g = 51 \cdot 9.81 \approx 500 N$

   m g / A = 500 / 0.01 = 50000 Pa = 50 kPa

   P = 100 + 50 = 150 kPa

   $\displaystyle \Delta V = A \cdot h = 0.01 \cdot 0.2 = 0.002 m³$

   W_b = P ΔV = 150 · 0.002 = 0.3 kJ = 300 J

   atmosfere: 100 · 0.002 = 0.2 kJ = 200 J

   ağırlığa: 50 · 0.002 = 0.1 kJ = 100 J = m g h ✓

   kayıp 200 J: gaz atmosferi de iter

   Sesli anlatım metni

   Şimdi silindire dönelim. Piston serbestçe kayıyor; bu yüzden gazın basıncı, pistonu aşağı bastıran basınca eşit ve süreç boyunca sabit. Pistonu iki şey bastırıyor: atmosfer ve pistonun ağırlığı. Ağırlık: 51 çarpı 9.81, yaklaşık 500 newton. Piston alanı 0.01 metrekare; 500 bölü 0.01, 50000 paskal, yani 50 kilopaskal. Atmosfer 100 kilopaskal; toplam basınç 100 artı 50, 150 kilopaskal. Hacim değişimi: alan çarpı yükseliş, 0.01 çarpı 0.2, 0.002 metreküp. Basınç sabit olduğu için iş, basınç çarpı hacim değişimi: 150 çarpı 0.002, 0.3 kilojoule, yani 300 joule. Diyagramda bu, yatay çizginin altındaki dikdörtgenin alanı. Şimdi dikdörtgeni ikiye bölelim. Alt parça, atmosfere karşı yapılan iş: 100 çarpı 0.002, 0.2 kilojoule, yani 200 joule. Üst parça, ağırlığı kaldırmaya giden iş: 50 çarpı 0.002, 0.1 kilojoule, yani 100 joule; tam da ilk hesapladığımız değer. Kayıp 200 joule buradaydı: piston yükselirken gaz, üstündeki atmosferi de itmek zorunda.

4. 4. Sabit Hacim

   

   hacim değişmezse?

   rijit tank ısıtılır: P ↑, sınır kıpırdamaz

   dV = 0 → W_b = 0

   diyagramda dikey çizgi: altında alan yok

   Sesli anlatım metni

   Hacim hiç değişmezse ne olur? Kapalı, rijit bir tankı ısıtırsanız basınç artar ama sınır yerinden kıpırdamaz. Hacim değişimi sıfır, dolayısıyla sınır işi de sıfır. Diyagramda süreç dikey bir çizgidir; altında alan yoktur.

5. 5. İzotermal Sıkıştırma

   

   0.006 m³ → 0.003 m³ (yarısı)

   yavaş itiş, ısı dışarı → T sabit

   ideal gaz, T sabit: P V = sabit → P iki katına

   P değişiyor → P ΔV olmaz; eğrinin altındaki alan

   $\displaystyle W_{b} = P₁V₁ \ln \left(V₂/V₁\right)$

   P₁V₁ = 150 · 0.006 = 0.9 kJ

   $\displaystyle V₂/V₁ =\frac{ 0.003 }{ 0.006 }= 0.5$

   $\displaystyle \ln 0.5 \approx -0.6931$

   W_b = 0.9 · (−0.6931) ≈ −0.624 kJ

   eksi: gaza iş yapıldı (giren 0.624 kJ)

   P₂ = 150 · 2 = 300 kPa

   kontrol:

   $\displaystyle 0.45 < 0.624 < 0.9 ✓$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi aynı havayı sıkıştıralım: 0.006 metreküpten 0.003 metreküpe, yani yarısına. Pistonu yavaşça itiyoruz ve ısının dışarı çıkmasına izin veriyoruz; sıcaklık sabit kalıyor. İdeal gazda sıcaklık sabitse, basınç çarpı hacim de sabittir: hacim yarıya inerse basınç iki katına çıkar. Artık basınç sabit değil; bu yüzden basıncı hacim değişimiyle doğrudan çarpamayız, eğrinin altındaki alanı bulmamız gerekir. Bu integralin sonucu: ilk basınç çarpı ilk hacim, çarpı son hacmin ilk hacme oranının doğal logaritması. İlk basınç çarpı ilk hacim: 150 çarpı 0.006, 0.9 kilojoule. Oran: 0.003 bölü 0.006, 0.5. 0.5 sayısının doğal logaritması yaklaşık eksi 0.6931. Çarpalım: 0.9 çarpı eksi 0.6931, yaklaşık eksi 0.624 kilojoule. Eksi işaret, bu işin gaza yapıldığını söylüyor: pistonu iten biz 0.624 kilojoule harcadık. Son basınç: 150 çarpı 2, 300 kilopaskal. Mantık kontrolü: basınç hep 150'de kalsaydı iş 0.45, baştan 300 olsaydı 0.9 kilojoule olurdu. Gerçek değer 0.624; tam ikisinin arasında.

6. 6. Politropik Süreç

   

   hızlı sıkıştırma: ısı kaçamaz → gaz ısınır

   politropik: P Vⁿ = sabit

   n: politropik üs

   aynı sıkıştırma, n = 1.3

   $\displaystyle V₁/V₂ =\frac{ 0.006 }{ 0.003 }= 2$

   $\displaystyle P₂ = P₁ \left(V₁/V₂\right)ⁿ = 150 \cdot 2^{(}1.3)$

   2⁽1.3) ≈ 2.462 → P₂ ≈ 369.3 kPa

   $\displaystyle W_{b} =\frac{P₂V₂ - P₁V₁}{1 - n}$

   P₂V₂ = 369.3 · 0.003 ≈ 1.108 kJ

   P₁V₁ = 0.9 kJ

   pay:

   $\displaystyle 1.108 - 0.9 = 0.208$

   payda:

   $\displaystyle 1 - 1.3 = -0.3$

   W_b = 0.208 / (−0.3) ≈ −0.693 kJ

   izotermden ≈ %11 fazla (gaz ısınır)

   n = 1 → izotermal (ln formülü)

   n = 0: P sabit · n → ∞: V sabit

   Sesli anlatım metni

   Gerçek kompresörlerde ve motorlarda sıkıştırma hızlıdır; ısı kaçmaya fırsat bulamaz ve gaz ısınır. Bu tür süreçler çoğunlukla politropik bir bağıntıya uyar: basınç çarpı hacmin bir üssü sabit kalır. Bu üsse politropik üs denir. Aynı sıkıştırmayı politropik üs 1.3 ile yapalım. Son basınç için hacim oranına bakalım: 0.006 bölü 0.003, 2. Son basınç: 150 çarpı 2 üzeri 1.3. 2 üzeri 1.3 yaklaşık 2.462; 150 çarpı 2.462, yaklaşık 369.3 kilopaskal. İşin formülü ekranda: son basınç çarpı son hacimden ilk çarpımı çıkarır, 1 eksi üsse böleriz. Son çarpım: 369.3 çarpı 0.003, yaklaşık 1.108 kilojoule. İlk çarpım yine 0.9. Pay: 1.108 eksi 0.9, 0.208. Payda: 1 eksi 1.3, eksi 0.3. Bölelim: 0.208 bölü eksi 0.3, yaklaşık eksi 0.693 kilojoule. İzotermal sıkıştırmadan yaklaşık yüzde 11 daha fazla iş gerekiyor; çünkü ısınan gazın basıncı daha hızlı yükseliyor. Bu formül yalnız üs 1 olduğunda çalışmaz; o durum zaten izotermal süreçtir. Üs sıfırsa basınç sabittir; üs çok büyürse süreç sabit hacme yaklaşır.

7. 7. Yaylı Piston

   

   A = 0.02 m² · k = 10 kN/m (doğrusal yay)

   başta yay kuvvetsiz: V₁ = 0.01 m³, P₁ = 120 kPa

   ısıtma:

   $\displaystyle V₂ = 0.016 m³$

   $\displaystyle \Delta V = 0.016 - 0.01 = 0.006 m³$

   $\displaystyle x =\frac{ \Delta V }{ A }=\frac{ 0.006 }{ 0.02 }= 0.3 m$

   F = k x = 10 · 0.3 = 3 kN

   ΔP = F / A = 3 / 0.02 = 150 kPa

   P₂ = 120 + 150 = 270 kPa

   yamuk: W = ortalama P × ΔV

   Pₒᵣₜ = (120 + 270) / 2 = 195 kPa

   W = 195 · 0.006 = 1.17 kJ

   dikdörtgen: 120 · 0.006 = 0.72 kJ

   üçgen (yay): ½ · 150 · 0.006 = 0.45 kJ

   kontrol: ½ k x²

   0.3² = 0.09 → ½ · 10 · 0.09 = 0.45 kJ ✓

   yaya giden:

   $\displaystyle \frac{0.45 }{ 1.17 }\approx \%38.5$

   Sesli anlatım metni

   Bir de yay ekleyelim. Alanı 0.02 metrekare olan bir pistonun üstünde, yay sabiti metre başına 10 kilonewton olan doğrusal bir yay var. Başta yay pistona değiyor ama kuvvet uygulamıyor; gaz 0.01 metreküp ve 120 kilopaskal. Gazı ısıtıyoruz ve hacim 0.016 metreküpe çıkıyor. Hacim değişimi: 0.016 eksi 0.01, 0.006 metreküp. Piston ne kadar yükseldi? Hacim değişimi bölü alan: 0.006 bölü 0.02, 0.3 metre. Yayın kuvveti, yay sabiti çarpı sıkışma: 10 çarpı 0.3, 3 kilonewton. Bu kuvvetin gaza eklediği basınç: 3 bölü 0.02, 150 kilopaskal. Son basınç: 120 artı 150, 270 kilopaskal. Basınç doğrusal arttığı için diyagramda süreç bir doğru, altındaki alan da bir yamuk. Yamuğun alanı, ortalama basınç çarpı hacim değişimi. Ortalama basınç: 120 artı 270, bölü 2, 195 kilopaskal. İş: 195 çarpı 0.006, 1.17 kilojoule. Yamuk iki parçaya ayrılır. Dikdörtgen, atmosfere ve pistona giden iş: 120 çarpı 0.006, 0.72 kilojoule. Üçgen, yayı sıkıştırmaya giden iş: yarım çarpı 150 çarpı 0.006, 0.45 kilojoule. Kontrol edelim: yayda depolanan enerji, yarım çarpı yay sabiti çarpı sıkışmanın karesi. 0.3 sayısının karesi 0.09; yarım çarpı 10 çarpı 0.09, yine 0.45. Yani işin yaklaşık yüzde 38.5'i yaya gitti.

8. 8. İş Yola Bağlıdır

   

   iş yalnız uç hallere bağlı değil

   hal 1: 0.004 m³, 300 kPa · hal 2: 0.006 m³, 150 kPa

   yol A: önce 300 kPa'da genleş, sonra V sabit soğut

   W_A = 300 · 0.002 = 0.6 kJ

   yol B: önce V sabit soğut, sonra 150 kPa'da genleş

   W_B = 150 · 0.002 = 0.3 kJ

   düz çizgi C (yamuk): 0.45 kJ

   aynı iki hal, üç yol, üç farklı iş

   iş yola bağlı: hal özelliği değil

   A ile git, B ile dön: Wₙₑₜ = 0.6 − 0.3 = 0.3 kJ

   motorların sırrı: kapalı alan

   Sesli anlatım metni

   Bir şeye dikkat edin: iş, yalnızca başlangıç ve son hale bağlı değildir. Aynı iki hali düşünelim: hal 1, 0.004 metreküp ve 300 kilopaskal; hal 2, 0.006 metreküp ve 150 kilopaskal. Yol A: önce 300 kilopaskalda genleş, sonra hacim sabitken soğut. İş: 300 çarpı 0.002, 0.6 kilojoule. Yol B: önce hacim sabitken soğut, sonra 150 kilopaskalda genleş. İş: 150 çarpı 0.002, 0.3 kilojoule. Düz bir çizgiyle gidersek alan bir yamuk olur: 0.45 kilojoule. Aynı iki hal, üç yol, üç farklı iş. Bu yüzden iş bir hal özelliği değil, yola bağlı bir büyüklüktür. Gaz A yolundan gidip B yolundan geri dönerse, net iş iki yolun arasında kalan alandır: 0.6 eksi 0.3, 0.3 kilojoule. Motorların iş üretebilmesinin sırrı bu kapalı alandır.

9. 9. Üç Klasik Tuzak

   

   ① Gösterge basıncıyla hesap: 50 kPa ile 0.1 kJ; atmosferin 0.2 kJ'ü kaybolur → P daima mutlak

   ② İşareti unutmak: sıkıştırmada W negatif → gaza iş yapılır

   ③ P değişirken P ΔV: izotermde 0.45 ya da 0.9 bulunur → önce P nasıl değişiyor, ona bak

   Sesli anlatım metni

   Üç klasik tuzak. Bir: gösterge basıncıyla hesap. Silindirde 50 kilopaskal ile 0.1 kilojoule bulursunuz; atmosfere giden 0.2 kilojoule kaybolur. Basınç daima mutlak. İki: işareti unutmak. Sıkıştırmada sonuç negatiftir; bu, gaza iş yapıldığı demektir. Üç: basınç değişirken basıncı hacim değişimiyle doğrudan çarpmak. İzotermal örnekte 0.45 ya da 0.9 bulursunuz; doğrusu 0.624. Önce basıncın nasıl değiştiğine bakın.

10. 10. Silindire Dönelim

    

    Hava 300 J iş yaptı: 200 J atmosfere + 100 J ağırlığa

    W_b = ∫ P dV = P–V eğrisinin altındaki alan

    P sabit: W = P ΔV · V sabit: W = 0

    izotermal ideal gaz: P₁V₁ ln(V₂/V₁) · politropik: (P₂V₂ − P₁V₁)/(1 − n)

    Sıradaki: kapalı sistemlerde enerji dengesi ve özgül ısılar

    Sesli anlatım metni

    Silindire dönersek: hava 300 joule iş yaptı; 200 joule atmosferi itmeye, 100 joule ağırlığı kaldırmaya gitti. Özetle: sınır işi, basıncın hacme göre integralidir ve diyagramda eğrinin altındaki alandır. Basınç sabitse basınç çarpı hacim değişimi; hacim sabitse sıfır. İzotermal ideal gazda logaritmalı formül, politropik süreçte ise kendi formülü kullanılır. Sıradaki derste bu işi enerji dengesine koyacağız: kapalı sistemler için birinci yasa ve özgül ısılar.

Kaynak video: Hareketli Sınır İşi (10:06)