Elektromanyetik Teori (v2) #30 | Soru Çözümü #07: Diverjans Teoremi ve Gauss Yasası

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

EMT (v2) problem çözüm serisinin yedinci bölümü. Bugün yerelden globale geçiyoruz. Diverjans teoremi, herhangi bir vektör alanının kapalı bir S yüzeyinden geçen akısının, S'nin çevrelediği V hacmindeki diverjansının integraline eşit olduğunu söyler. ∮ A · dS = ∫ ∇·A dV. Sezgisi muazzam: V'yi milyonlarca küçük kutuya bölün, her iç yüz bir komşuyla paylaşılır ve toplamda iptal olur, sadece en dıştaki yüzeyler hayatta kalır — ki bu da tam olarak S sınırıdır. Yani her yerel kaynağın toplamı, dış kabuktan geçen toplam akıya eşittir. Küp örneği — temiz doğrulama. PS05'ten beri taşıdığımız polinomik alanı birim küpte deneyelim: A = x²y x̂ + y²z ŷ + z²x ẑ. Hacim tarafı: [0,1]³ üzerinde ∫(2xy+2yz+2zx) dV. Üç terimin her biri üç tek integralin çarpımına ayrılır — her terim 2·(1/2)·(1/2)·1 = 1/2 — toplam 3/2. Yüzey tarafı: altı yüz, ama x=0, y=0, z=0'da alan bileşeni sıfır olduğundan o yüzler sıfır verir. x=1: ∫y dy dz = 1/2. y=1: ∫z dz dx = 1/2. z=1: ∫x dx dy = 1/2. Toplam 3/2. İki taraf eşleşti — teorem doğrulandı, hile yok. Küre örneği — dersin asıl yeri tekillikte. PS06 ile aynı alan: A = (1/r²) r̂. R yarıçaplı küre içinde teoremin iki tarafını hesapla. Orijin dışında ∇·A = 0 (PS05), dolayısıyla naif hacim integralı sıfır verir. Yüzey integrali: A · dS = (1/R²)·R² sinθ dθ dφ = sinθ dθ dφ. sinθ'yi 0'dan π'ye, dφ'yi 0'dan 2π'ye integre et: 2·2π = 4π. Eşitsizlik! 0 ≠ 4π. Ne kırıldı? Hiçbir şey — diverjans her yerde sıfır değil; orijinde bir delta fonksiyonudur: ∇·(r̂/r²) = 4π δ³(r). Bunu V üzerinde integre et: 4π — tam olarak yüzey tarafıyla eşleşir. Tekilliği dürüstçe ele aldığında teorem yerine oturur. Ve işte ödülü. Her iki tarafı q/(4π ε₀) ile çarp. Ters kare ışınsal alan, q nokta yükünün elektrik alanına dönüşür. Yüzey integrali E akısına dönüşür. Hacim tarafı Q_çev/ε₀ olur. İşte integral biçimde Gauss yasası. Elektrostatikteki her Gauss yüzeyi hesabı — silindirik kabuk, yüklü düzlem, koaksiyel kablo — bu teorem artı kaynaktaki tekilliğin delta fonksiyonu çözümü üzerine kuruludur. Konu akışı: 0:00 Giriş 0:03 Teorem ifadesi + iç yüzey iptal sezgisi 1:32 Küp çözümlü örnek: iki taraf da 3/2 3:59 Küre çözümlü örnek: 0 vs 4π → delta → Gauss yasası 6:26 Özet Anahtar denklemler: • Diverjans teoremi: ∮ A · dS = ∫ ∇·A dV • ∇·(r̂/r²) = 4π δ³(r) (tekil dağılım özdeşliği) • Gauss yasası: ∮ E · dS = Q_çev / ε₀ Cevaplar: Küp ∮ = ∫ = 3/2. Küre ∮ = 4π = ∫ (orijinde delta ile). → Herhangi bir kapalı yüzey için Gauss yasası. Kaynak: Sadiku, "Elements of Electromagnetics" 7. Baskı, Bölüm 3 (diverjans teoremi); Griffiths Bölüm 1.

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.