Elektromanyetik Teori (v2) #28 | Soru Çözümü #05: Bir Vektör Alanının Diverjansı

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

EMT (v2) problem çözüm serisinin beşinci bölümü. İkinci diferansiyel operatörle tanışıyoruz: diverjans. Gradyan skaler alıp vektör döndürürken, diverjans vektör alıp skaler döndürür — her noktada bir sayı ki alanın o noktadan birim hacim başına net dışarı akışını ölçer. Pozitif diverjans kaynak, negatif sink, sıfır solenoidal demektir (giren her şey çıkar). Elektrostatikte ∇·E = ρ/ε₀ — elektrik alanın diverjansı yük yoğunluğunun nerede olduğunu söyler. Bu, Maxwell denklemlerinden biridir. Kartezyen örnek: A = x²y x̂ + y²z ŷ + z²x ẑ, nokta P(1, 2, 3). Üç kısmi türev. ∂Aₓ/∂x = 2xy → P'de 4. ∂Aᵧ/∂y = 2yz → 12. ∂A_z/∂z = 2zx → 6. Topla: ∇·A|_P = 4 + 12 + 6 = 22. Pozitif diverjans P'nin bu alan için kaynak gibi davrandığını söyler. Küresel örnek — her elektromanyetik öğrencisinin cebinde tutması gereken sonuç. A = (1/r²) r̂, ünlü ters kare ışınsal alan. Bir nokta yükün dışındaki E alanı böyle görünür. Küresel diverjansın radyal terimini kullan: ∇·A = (1/r²) ∂(r²A_r)/∂r. A_r = 1/r² yerine koy. Türevin içinde: r²·(1/r²) = 1. ∂(1)/∂r = 0. Yani ∇·A = 0 — her yerde, r › 0 olmak şartıyla. Orijin dışında kaynak yok. Tüm kaynak r = 0'da bir delta fonksiyonu olarak yoğunlaşmış. İşte Gauss yasasının matematiksel kalbi: bir nokta yük, diverjansı yükün dışında her yerde sıfır olan 1/r² alanı üretir. Konu akışı: 0:00 Giriş 0:05 Kavram: kaynak, sink, solenoidal — ve Maxwell bağlantısı 1:16 Formüller: kartezyen, silindirik, küresel diverjans (hacim ölçek çarpanları) 2:56 Kartezyen çözümlü örnek: A = x²y x̂ + y²z ŷ + z²x ẑ noktası P(1,2,3) → 22 4:30 Küresel çözümlü örnek: A = (1/r²) r̂ → 0 (kılığını değiştirmiş Gauss yasası) 6:21 Özet Anahtar denklemler: • ∇·A = ∂Aₓ/∂x + ∂Aᵧ/∂y + ∂A_z/∂z (kartezyen) • ∇·A = (1/ρ) ∂(ρA_ρ)/∂ρ + (1/ρ) ∂A_φ/∂φ + ∂A_z/∂z (silindirik) • ∇·A = (1/r²) ∂(r²A_r)/∂r + (1/(r sinθ)) ∂(sinθ A_θ)/∂θ + (1/(r sinθ)) ∂A_φ/∂φ (küresel) • Hacim ölçek faktörleri radyal türevlerin İÇİNDE durur — atlanması kolay! Cevaplar: Kart ∇·A = 22 nokta P(1, 2, 3). Sph ∇·A = 0 orijin dışında her noktada. Kaynak: Sadiku, "Elements of Electromagnetics" 7. Baskı, Bölüm 3 (diverjans)

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.