Elektromanyetik Teori (v2) #31 | Soru Çözümü #08: Stokes Teoremi ve Ampère Yasası

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

EMT (v2) serisinin sekizinci soru çözümü ve geçen videonun ikizi. Diverjans teoremi yerel kaynakları Gauss yasasına çevirmişti; Stokes teoremi de yerel girdapları Ampère yasasına çevirir. İfade şu: bir vektör alanının kapalı bir C eğrisi boyunca dolanımı, o eğriye gerilen herhangi bir S yüzeyinden curl'ünün akısına eşittir. ∮ A · dl = ∫ (∇×A)·dS. Sezgi, geçen seferki numaranın bir boyut küçüğü: yüzeyi milyonlarca minik hücreye böl, her birinin kendi minik dolanımı var. Her iç kenar iki komşu hücre tarafından zıt yönlerde gezilir ve iptal olur — hayatta kalan tek kenarlar en dıştakilerdir, ve onlar birlikte tam olarak C sınır eğrisini oluşturur. Kare örneği — temiz doğrulama, işaretiyle birlikte. PS05'ten beri taşıdığımız seri alanını alalım: A = x²y x̂ + y²z ŷ + z²x ẑ. Bölge, z=0 düzlemindeki birim kare; saat yönünün tersine yürüyoruz, sağ el kuralıyla normal n̂ = ẑ. Yüzey tarafı: curl PS06'da hesaplanmıştı, ∇×A = −y² x̂ − z² ŷ − x² ẑ. z=0'da z-bileşeni −x², ve kare üzerinde ∫∫(−x²) dx dy = −1/3. Çizgi tarafı: A'nın y-bileşeni y²z, z=0'da sıfır, yani iki dikey kenar yok olur; alt kenar da sıfır verir. Her şey tepe kenarına (y=1) kalır: orada A_x = x² ve x=1'den x=0'a yürürüz, ∫ x² dx (1'den 0'a) = −1/3. İki taraf da −1/3 — eksi işareti bile tutar, çünkü curl −z yönünde, yürüyüş ise +z yönünde dolanıyor. Girdap örneği — asıl ders tekillikte yaşar. A = (1/ρ) φ̂ alalım: z ekseni etrafında dönen ve eksene yaklaştıkça güçlenen bir alan, bir giderin etrafındaki su gibi. C, R yarıçaplı bir çember; S, gerdiği disk. Yüzey tarafı, naif şekilde: azimutal bir alanın curl'ü (1/ρ) ∂(ρ·A_φ)/∂ρ ẑ, ama ρ·A_φ = 1 sabit, yani curl eksen dışında sıfır ve naif yüzey integrali sıfır. Çizgi tarafı: çemberde A·dl = (1/R)(R dφ) = dφ, ve ∮ dφ (0'dan 2π'ye) = 2π — R'den bağımsız. Çelişki! 0 ≠ 2π. Bütün girdap eksende bir delta fonksiyonu olarak saklanır: ∇×(φ̂/ρ) = 2π δ²(ρ) ẑ. Bunu disk üzerinde integre et, yüzey tarafı da 2π verir. Teorem, tekillik konusunda dürüst olunca yerine gelir. Ve ödül şu. Alanı I/(2π) ile çarp. Girdap, H = I/(2πρ) φ̂ olur — tam olarak I akımı taşıyan düz bir telin manyetik alanı. Teli çevreleyen herhangi bir ilmek boyunca H'nin dolanımı, çevrelenen akıma eşit olur: ∮ H · dl = I_enc. Bu, Ampère yasasıdır. Manyetostatikteki her Ampère ilmeği hesabı, Stokes teoremi artı teldeki tekilliğin delta ile çözümü üzerine kuruludur. Gauss (PS07) ve Ampère (PS08) ile vektör analizi alet çantası tamamlanır — bu iki teorem, Maxwell'in diferansiyel ve integral biçimleri arasındaki köprülerdir. Konular: 0:00 Kapak 0:03 Teorem ifadesi + iç kenar iptali sezgisi 1:26 Kare çözümlü örnek: iki taraf da −1/3 (işaretiyle) 3:55 Girdap çözümlü örnek: 0 vs 2π → eksende delta → Ampère yasası 6:33 Özet Anahtar denklemler: • Stokes teoremi: ∮ A · dl = ∫ (∇×A)·dS • ∇×(φ̂/ρ) = 2π δ²(ρ) ẑ (tekil dağılımsal özdeşlik) • Ampère yasası: ∮ H · dl = I_enc Cevaplar: Kare ∮ = ∫ = −1/3. Girdap ∮ = 2π = ∫ (eksende delta ile). → akımı çevreleyen her ilmek için Ampère yasası. Kaynak: Sadiku, "Elements of Electromagnetics" 7. Baskı, Bölüm 3 (Stokes teoremi); Griffiths Böl. 1.