Kontrol Teorisi #42 — Routh-Hurwitz Parametrik Kararlılık (Çözümlü Örnek 19)

Eğitmen: Dr. Süleyman Burak ÇELİK

Paydanın içinde gizli serbest bir parametre K taşıyan bir transfer fonksiyonu — ve kararlı aralığı net bir eşitsizlikle bulduğumuz bir analiz. Routh-Hurwitz'i iki aşamada uyguluyoruz — önce gerek koşul, sonra tam Routh tablosu — ve tek bir kutup bile hesaplamıyoruz. İşlenen konular: - Bir transfer fonksiyonunun kararlılığı ⟺ her kutup açık sol yarı düzlemde olmalı - Aşama 1 — gerek koşul: her katsayı var olmalı ve aynı işareti paylaşmalı - Aşama 2 — Routh tablosu: katsayılardan kur, ilk sütunda işaret değişimini kontrol et - Parametrik Routh girdilerini 2×2 determinant kuralı ile, üstteki satırın baş elemanına bölerek hesaplama - Girdiler K'ya bağlı olduğunda eşitsizlikleri okuma - Sınırı simüle edilmiş basamak yanıtlarıyla sayısal olarak nokta-doğrulama Problem (Sample Midterm A, Q10): G(s) = (s + 3) / (3s⁴ + 3K s³ + 4s² + K s + 1/3). Hangi K değerleri için transfer fonksiyonu kararlıdır? Adım adım çözüm: - Pay kararlılığı etkilemez — sadece payda polinomu önemlidir. - Gerek koşul (Aşama 1): katsayılar 3, 3K, 4, K, 1/3. Üçü sabit pozitif; diğer ikisi K › 0 talep ediyor. Gerek koşul K › 0'a indirgeniyor. - Routh tablosu (Aşama 2): - s⁴ satırı: 3, 4, 1/3 - s³ satırı: 3K, K, 0 - s² satırı: b₁ = (3K·4 − 3·K)/(3K) = 9K/3K = 3, b₂ = (3K·1/3 − 0)/(3K) = 1/3 - s¹ satırı: c₁ = (3·K − 3K·1/3)/3 = 2K/3 - s⁰ satırı: d₁ = b₂ = 1/3 - İlk sütun: 3, 3K, 3, 2K/3, 1/3. İki girdi K'ya bağlı; ikisi de K › 0 talep ediyor. - Simüle edilmiş basamak yanıtlarıyla doğrulama: - K = 2 → kararlı (sonlu bir değere yerleşir) - K = 0.1 → kararlı ama az sönümlü (uzun çınlama) - K = 0 → marjinal kararsız (bir katsayı sıfır olur) - K = −0.5 → güçlü kararsız (çıkış patlar) Cevap: G(s), ancak ve ancak K › 0 ise kararlıdır. Ana fikir: bir transfer fonksiyonu paydasında serbest bir parametre taşıdığında, Routh tablosu kararlılık sorusunu o parametredeki bir eşitsizlikler sistemine dönüştürür. Eşitsizlikleri çöz — kararlı aralığı al. Kök bulmaya gerek yok. Aynı yöntem ölçeklenir — herhangi bir parametre, herhangi bir katsayı sayısı, herhangi bir polinom mertebesi için çalışır. Her adım açıkça gösteriliyor — kestirme yok. Konular: 00:00 Kapak 00:03 Problem — G(s)'in kararlı olduğu tüm K değerlerini bul 01:16 Strateji — Routh-Hurwitz iki aşamada 02:22 Aşama 1 — gerek koşul K › 0'a indirgenir 03:18 Aşama 2 — Routh tablosunu kur 04:15 s² satırı: b₁ = 3 ve b₂ = 1/3 hesabı 05:35 s¹ ve s⁰ satırları: c₁ = 2K/3 ve d₁ = 1/3 hesabı 07:03 İlk sütun eşitsizlikleri → cevap K › 0 08:24 Doğrulama — dört K değeri için basamak yanıtları 09:48 Özet Oynatma listesi: Kontrol Teorisi - AcEdumy GitHub: https://github.com/acedumy

Bu videoyu izlemek için Premium üyelik gerekir.